Teorema di incompletezza di Godel


Ne “La briscola in cinque” Marco enuncia il primo teorema di Incompletezza di Godel.

L”interpretazione formalista della matematica ricevette un duro colpo nel 1931. In quegli anni il matematico e logico di Princeton Kurt Gödel dimostrò un teorema fondamentale secondo cui esistevano enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica poteva determinare la verità o la falsità. Questo teorema non lasciava vie d’uscita, perché forniva una dimostrazione irrefutabile che determinate cose, in matematica, sono realmente impossibili, persino in linea di principio. Il fatto che esistano proposizioni indecidibili ( non si può decidere se vere o false) in matematica provocò un grosso trauma perché sembrava minare gli stessi fondamenti logici della disciplina.

“Per ogni sistema formale di regole ed assiomi è possibile arrivare a proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale”

In ogni sistema ci sono affermazioni che non possono essere dimostrate usando il sistema stesso.

In ogni teoria matematica T, sufficientemente espressiva da contenere l’aritmetica, esiste una formula  tale che, se T è coerente, cioè che non contiene contraddizioni, allora né lei né la sua negazione  sono dimostrabili in T, ovvero il primo teorema afferma che in ogni formalizzazione coerente della matematica  è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema.

Facciamo un esempio:

consideriamo la frase

«La presente proposizione è una bugia».

Se la proposizione è vera, allora è falsa; e se è falsa, allora è vera. Questi paradossi dell’autoreferenzialità possono essere costruiti facilmente e sono profondamente interessanti; hanno confuso le persone per secoli. esistono formulazioni di tali dilemmi anche di epoca medioevale.

Massimo usa il teorema per capire cosa non torna nella sua indagine, ma se volete saperne di più dovete leggere “La briscola in cinque“.

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